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En quoi les logarithmes sont utiles dans la vie réelle ?

Présentation (5 minutes)

Aujourd'hui, nous allons aborder la question suivante : en quoi les logarithmes sont-ils utiles dans la vie réelle ?

Avant d'aborder cette question, il est important de comprendre ce que sont les logarithmes. Je vais commencer par introduire cette notion. Il existe une infinité de fonctions mathématiques, parmi lesquelles les fonctions affines, linéaires et exponentielles. Les logarithmes sont également une fonction mathématique très connue et largement utilisée dans la vie courante. Elles ont eu des applications concrètes dès leur création. Avant de définir la fonction logarithme, nous allons d'abord nous pencher sur l'histoire de sa construction, puis nous aborderons son application réelle. Tout d'abord, comment le logarithme a-t-il été inventé ?

1) Les fonctions logarithmes ont été introduites en 1614 par John Napier, plus connu sous le nom de Neper. Napier était un mathématicien écossais qui souhaitait trouver une méthode pour faciliter les calculs de valeurs trigonométriques. À l'époque, les calculs astronomiques et les échanges commerciaux devenaient de plus en plus complexes. Ils nécessitaient une connaissance de la trigonométrie et l'exécution de multiplication de grands nombres. Les calculatrices n'existaient pas encore, et les calculs devaient donc être effectués à la main. Napier était fatigué de faire des multiplications et s'est demandé s'il était possible de simplifier les calculs en remplaçant la multiplication par l'addition. C'est ainsi qu'il a observé l'existence de fonctions capables de transformer des produits en sommes. Neper a donné le nom de logarithme à cette fonction, en utilisant les mots grecs "logos" qui signifie logique et "arithmos" qui signifie nombre. En 1614, il publie un ouvrage où il présente cet outil : le logarithme. Il a construit d'immenses tableaux, des tables logarithmiques à deux colonnes, présentant les antécédents dans la colonne de gauche et les images par la fonction logarithme dans la colonne de droite. Il a remarqué que le logarithme d'un produit était égal à la somme des logarithmes.

2) Cela nous amène à la célèbre propriété suivante : pour tous les nombres réels x et y strictement positifs, le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes. La fonction logarithme peut être définie comme la fonction qui associe à x la puissance à laquelle une constante appelée base doit être élevée pour obtenir le nombre x. Il existe plusieurs fonctions logarithmes, les plus connues étant la fonction logarithme népérien (ln(x)) et la fonction logarithme décimal (log(x)).

3) La fonction logarithme joue un rôle essentiel dans la simplification des calculs, mais pas seulement. Aujourd'hui, à notre époque, on peut se demander si le logarithme est toujours utile étant donné que nous avons des calculatrices. Eh bien, oui, le logarithme est très utilisé de nos jours dans de nombreux domaines. Au cours de l'histoire, les mathématiciens ont découvert d'autres utilisations des logarithmes au-delà de la simple simplification des calculs. Un exemple d'application où le logarithme intervient aujourd'hui est en physique-chimie. Les fonctions logarithmes les plus couramment utilisées sont les fonctions logarithmes décimales à base 10. On les retrouve notamment dans la création des échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques et dans la règle à calcul. L'échelle logarithmique permet de représenter graphiquement sur un même axe des nombres qui varient sur plusieurs ordres de grandeur, par exemple de 1 à 100000. Elle permet de modéliser de nombreuses grandeurs physiques, comme le pH d'une solution, qui serait impossible à modéliser avec une échelle linéaire classique en raison de l'écart trop important entre les valeurs. On adopte alors une échelle logarithmique où, en passant d'une graduation à la suivante, la valeur représentée est multipliée par un même facteur (ici, par 10). Cela permet une réduction significative de l'échelle et donc une meilleure visualisation du phénomène étudié.

En conclusion, les logarithmes ont été une véritable révolution dans le monde scientifique, avec des applications concrètes dès leur création. Outre leur capacité à simplifier les calculs, les logarithmes permettent de manipuler et de modéliser des nombres avec des ordres de grandeur variés, notamment grâce à l'utilisation d'échelles logarithmiques. Nous utilisons des échelles logarithmiques dans de nombreux domaines, tels que la mesure de la magnitude d'un séisme, le pH, le son, etc. Et sans les logarithmes, il n'y aurait pas eu d'astronomie ni de navigation tels que nous les connaissons aujourd'hui.

Entretien (10 minutes)

Pourquoi avez-vous choisi ce sujet ?

J'ai choisi ce sujet car les logarithmes sont présents partout dans la vie courante et je souhaitais donc approfondir mes connaissances sur leur histoire et leurs utilisations. La fonction logarithme est d'une grande importance et je sais que je la rencontrerai fréquemment dans l'enseignement supérieur. J'ai donc saisi cette opportunité pour comprendre l'utilité des logarithmes dans le contexte de mes études futures, ce qui le lie à mon projet d'orientation. De plus, j'ai une grande aisance dans l'étude des fonctions mathématiques, et lors du chapitre que j'ai consacré au logarithme népérien, nous avons abordé en partie son histoire, ce qui a éveillé ma curiosité. J'ai voulu approfondir mes connaissances et m'intéresser davantage aux utilisations des logarithmes dans la vie courante, d'où ma problématique : « En quoi les logarithmes sont-ils utiles dans la vie réelle ? ».

Sources ? → J'ai effectué des recherches au CDI et sur Internet. Au CDI, j'ai emprunté un manuel de Mathématiques car ces manuels contiennent souvent une section dédiée à l'histoire des mathématiques, notamment celle du logarithme népérien. Cela se trouvait dans le chapitre sur le logarithme népérien. Ces informations supplémentaires ne sont pas abordées dans notre cours, et je les ai trouvées très instructives. Sur Internet, je me suis renseigné sur le site de Khan Academy et j'ai visionné quelques-unes de leurs vidéos sur YouTube. Par ailleurs, j'ai également consulté des sources fiables telles que Wikipédia et le site Maths et Tiques. Ce dernier propose une rubrique spécifiquement dédiée à l'histoire des mathématiques. Ainsi, j'ai pu m'appuyer sur des sources fiables pour mes recherches.

Comment Napier a inventé/découvert? Comment ont été créés les logarithmes ?

Les recherches menées par John Napier pour parvenir à cette découverte étaient assez complexes. Elles lui ont pris 20 années de sa vie. Il est parti d'une relation trigonométrique qui permettait de transformer un produit en somme. Il cherchait ensuite une suite similaire à cette relation trigonométrique. Pour cela, il a construit deux suites de nombres : l'une croissait selon une progression arithmétique, tandis que l'autre décroissait selon une progression géométrique. Il disposait d'un segment suivant une progression arithmétique et d'un autre segment suivant une progression géométrique. Son idée était de comparer la progression arithmétique à la progression géométrique afin d'établir une relation entre un produit et une somme. Dans le but de remplacer la multiplication par l'addition, il a trouvé des liens entre les termes de la progression géométrique et ceux de la progression arithmétique. C'est ainsi qu'il a découvert les logarithmes.

Utilité/Usage dans le passé ?

Les contemporains de Napier ont rapidement apprécié cet nouvel outil de calcul. Henry Briggs, un professeur de mathématiques à Londres engagé dans des calculs astronomiques complexes, a immédiatement reconnu l'intérêt des logarithmes et a amélioré les tables de Napier. L'astronome allemand Johannes Kepler les a utilisés pour calculer des éphémérides et a écrit une lettre de remerciements à Napier pour le féliciter de son invention qui lui avait été d'une grande aide.

Mirifici: Comment ça marche la substitution d’une multiplication à une addition ?

Dans son ouvrage, Napier annonce qu'il a découvert un moyen étonnant de simplifier non seulement les calculs trigonométriques, mais aussi tous les calculs tels que les multiplications et les divisions. Pour illustrer cela, prenons un exemple : si nous voulons calculer le produit de a par b, il suffit de chercher le logarithme de a et celui de b grâce à la table logarithmique. En additionnant ces deux logarithmes, nous obtenons le logarithme de ab. Ensuite, en recherchant dans la table le nombre correspondant à ce logarithme, nous obtenons le produit de a*b.

Un peu de cultures

John Napier → théologicien, physicien, astronaume et mathématicien né en 1550.

Il publie en 1614 un ouvrage, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Description de la règle merveilleuse des logarithmes) où il présente cet outil: le logarithme. En 1619, apparaît une œuvre posthume de Neper, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, où il explique comment construire une table de logarithmes. C'est avec Descartes que le logarithme prendra le statut de fonction.

Aujourd'hui, on utilise l’échelle logarithmique dans de nombreux domaines. Par exemple, l'échelle des pH en chimie, les décibels pour mesurer le son, l'échelle de Richter pour la magnitude d’un séisme.

Le niveau d'intensité sonore : le Décibel

L'intensité sonore, noté I, prend des valeurs sur un intervalle extrêmement large qui va de 10-12 W.m-2 jusqu'à 10 W.m-2 soit un facteur de 1013 (10 000 milliards !) entre la limite inférieure et la limite supérieure. Afin d'utiliser une échelle de grandeur plus simple et plus significative on crée une nouvelle grandeur appelée niveau d’intensité sonore, noté L ayant pour unité le Décibels. Et cette grandeur est relié à l’intensité sonore I par la relation:

L=10*log(I/I0)

Avec L en Décibel (dB)
I en W.m-2
I0 = 10-12 W.m-2

On voit que le logarithme intervient dans la formule. La relation entre l'intensité sonore et le niveau sonore en décibel est donc régit par une loi logarithmique.

Le pH

Le pH d’une solution est lié à la présence des ions H3O+. Et donc la concentration des ions H3O+ prend des valeurs sur un intervalle extrêmement large qui va de 10-14 jusqu'à 10 puissance 0 soit un facteur de 1014 (10 000 milliards !) entre la limite inférieure et la limite supérieure. Afin d'utiliser une échelle de grandeur plus simple et plus significative, on crée une nouvelle grandeur, le pH.

Le pH d'une solution aqueuse se calcule par la formule suivante: p H = − log ⁡ [ H 3 O + ]

On voit que le logarithme intervient dans la formule. Et c’est pratique car le pH prend des valeurs allant de 0 à 14, cela permet une meilleure lecture du phénomène.

Magnitude d’un séisme

L’intensité d’un séisme prend des valeurs sur un intervalle extrêmement large. Afin d'utiliser une échelle de grandeur plus simple et plus significative, on utilisé l’échelle de Richter. L'échelle de Richter est une unité de mesure de la force d'un séisme. C'est une échelle dite logarithmique: Grâce à cet échelle, la magnitude d’un séisme prend des valeurs allant de 0 à 10. Un séisme atteignant 5 sur l'échelle de Richter est en fait 10 fois plus puissant qu'un séisme de magnitude 4.

Pour aller plus loin: échelles logarithmiques, les repères semi-logarithmiques et dans la règle à calcul.

Une échelle logarithmique est un concept différent de l’échelle habituelle où déjà on démarre de 1, on ne démarre pas de 0 et à chaque fois qu’on parcourt une certaine distance sur l’axe, on multiplie la valeur par une constante positive au lieu d’ajouter un nombre. Donc un exemple assez classique c’est de progresser sur l’axe en multipliant par 10. Donc on aura d’abord 1, puis 10, 100, 1000, 10000 etc. On multiplie à chaque fois par 10. Cela permet de présenter des résultats sur des graphiques.

(Le problème c’est que pour représenter graphiquement sur un axe des nombres qui varient sur plusieurs ordres de grandeur, par exemple de 1 à 100000, on ne peut pas utiliser l’échelle habituelle où les graduations sont proportionnelles à des nombres, et on a donc recours aux échelles logarithmiques. On adopte alors une échelle telle qu’en passant d’une graduation à la suivante, la valeur représentée est multipliée par un même facteur (ici par 10). Cette échelle est dite logarithmique car les distances portées sur l’axe sont proportionnelles aux logarithmes des nombres représentés. L’échelle logarithmique permet une importante réduction d’échelle. Ainsi, ça va nous permettre de placer de très grands grands nombre sur un axe et donc une bonne lecture du phénomène étudié.)

Définition : le repère est dit semi-logarithmique si l’axe des abscisses est gradué selon une échelle logarithmique et l’axe des ordonnées selon une échelle linéaire ou inversement mais y a un des deux axes qui est gradué selon une échelle linéaire et l’autre axe selon une échelle logarithmique d’où son nom repère semi logarithmique. Si les deux axes sont gradués avec une échelle logarithmique, on parle de graduation logarithmique ou de graduation « log-log ». Ce sont des repères qui permettent de représenter des phénomènes exponentiels ou, plus généralement, des mesures s'étalant sur plusieurs ordres de grandeurs comme par exemple la représentation graphique des termes de la suite 2 puissance n ( de 1 à 8).

Règle à calcul: La règle à calcul (ou règle à calculer) est un instrument mécanique qui permet le calcul analogique et sert à effectuer facilement des opérations arithmétiques de multiplication et de division par simple déplacement longitudinal d’un coulisseau gradué. Elle utilise pour cela la propriété des fonctions logarithmes qui transforment un produit en somme et une division en différence. Elle permet également la réalisation d'opérations plus complexes, les racines carrées, cubiques, des calculs logarithmiques ou trigonométriques. Pour son utilisation la plus courante (la multiplication et la division), la règle à calcul utilise des échelles logarithmiques et la relation fonctionnelle selon lequel la somme des logarithmes de deux nombres est égale au logarithme du produit des deux nombres. On peut dire que la règle à calcul est l’ancêtre de la calculatrice et elle était beaucoup utilisée dans les années 1960.

Projet d'orientation (5 minutes)

Vous parlez des différentes étapes qui vous ont permis d’avancer dans votre projet (rencontres, engagements, stages, mobilité internationale, intérêt pour les enseignements communs, choix des spécialités, etc.) et de ce que vous en ferez après le bac.

Le jury fait attention ici à votre manière d’exprimer une réflexion personnelle et à vos motivations.

Voici un plan de projet d’orientation possible:

-Présenter votre projet d’orientation, et comment il a évolué dans les années antérieures (métier envisagé plus jeune, stages et interviews de professionnels, salons, changements notables dans le projet…)

-Présenter ce que vous avez obtenu sur Parcoursup. Etat de la situation: êtes-vous en attente, reçu, avez-vous accepté une proposition d’admission?

-Présenter le métier (ou groupe de métiers) envisagé par la suite, et ses caractéristiques (en termes de localisation, de temps de travail, de salaire, d’horaires, de pénibilité...). Quelles contraintes êtes-vous prêts à accepter? A quoi pensez-vous ne pas pouvoir renoncer?

-Présenter un plan B prévu en cas d’échec

En quoi la question que vous avez choisi est en lien avec votre projet ?

Ma question est en lien avec mon projet d'orientation car les logarithmes sont largement utilisés dans les études d'ingénierie. J'ai découvert que la fonction logarithme a été initialement inventée pour simplifier les calculs fastidieux des ingénieurs et des physiciens avant l'avènement des calculatrices. Par exemple, la fonction logarithme népérien est très utile pour résoudre des équations ou des inéquations dans lesquelles l'inconnue se trouve en exposant. Je suis certain(e) de rencontrer fréquemment cette fonction dans l'enseignement supérieur. Ainsi, il est extrêmement utile de connaître l'utilité des logarithmes pour la suite de mes études, d'où ma problématique : « En quoi les logarithmes sont-ils utiles dans la vie réelle ? » Cela va devenir un outil indispensable dans mon parcours scolaire.

Quels sont vos 2 spécialités et pourquoi vous les avez choisis? Quel est le lien entre votre projet et vos spécialités?

C’est un choix qui s’est fait très naturellement car ce sont des matières qui me plaisent et que je souhaite approfondir dans mon cursus scolaire.

J'ai choisi la spécialité mathématiques car je m'oriente vers une filière scientifique où les mathématiques sont indispensables pour mes études futures. En étudiant les mathématiques, j'ai développé mon esprit critique et ma rigueur. Depuis le collège et la primaire, j'ai toujours pris plaisir à résoudre des problèmes mathématiques. Cela a amélioré mon raisonnement, ma clarté et ma précision, ce qui est un atout précieux dans d'autres disciplines.
J'ai choisi la spécialité physique-chimie car je suis passionné par les sciences et les expériences scientifiques. En étudiant cette matière, j'ai pu comprendre les transformations de la matière et mieux appréhender le monde qui nous entoure. J'étais déjà à l'aise en physique-chimie depuis la seconde, tout comme en mathématiques.

Depuis toujours, je suis intéressé par le domaine scientifique. Je souhaite poursuivre mes études dans ce domaine, c'est pourquoi j'ai choisi les spécialités mathématiques et physique-chimie, et je me dirige vers des études d'ingénieur. Plus tard, mon objectif est de devenir ingénieur, car je suis passionné par l'innovation et les nouvelles technologies. C'est quelque chose qui me fascine et je souhaite en faire mon métier. Le métier d'ingénieur participe activement au progrès et à l'innovation, offrant ainsi l'opportunité de contribuer à transformer le monde au service de la société. Je n'ai pas encore décidé précisément dans quel secteur d'activité je souhaite exercer.

Pour concrétiser mon projet professionnel, j'ai été admis à Polytech Sorbonne à Paris via Parcoursup. Il s'agit d'une école d'ingénieur post-bac qui forme des ingénieurs en cinq ans.

Quel(s) métier(s), étude(s) imaginiez-vous suivre plus jeune? Ces projets étaient-ils les mêmes qu’aujourd’hui?

Avez-vous déjà eu des expériences avec le monde de travail? Avez-vous effectué un stage en troisième? Ces expériences étaient-elles motivées par un projet d’orientation?

Quelles spécialités avez-vous choisi de suivre en première? Quelle spécialité avez-vous abandonné en terminale? Pourquoi?

Quels étaient vos vœux formulés sur Parcoursup? En dehors de Parcoursup? Avez-vous eu des doutes, des hésitations?

Quelle voie allez-vous finalement suivre l’année prochaine? Est-ce un choix subi? choisi?

Quel(s) métier(s) envisagez-vous d’exercer plus tard? Comment comptez-vous y parvenir? Avez-vous un «Plan B» en cas d’échec?

Avez-vous le sentiment de bien connaître les études supérieures que vous choisissez, ou bien s’agit-il plutôt d’un choix à l’aveuglette?Comment vous êtes-vous informés?